Юрий Каспаров родился в 1955 году в Москве. Окончил Московский энергетический институт в 1978 году и Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского (по классу композиции у Михаила Чулаки) в 1984. В 1991 окончил аспирантуру при Московской консерватории по специальности «композиция» (класс Эдисона Денисова).

В 1990 организовал Московский Ансамбль современной музыки и возглавлял его до 2008 года. С 2005 года работает в Московской Государственной консерватории имени П. И. Чайковского, преподаёт композицию и инструментовку.

Мировые премьеры сочинений Юрий Каспарова проходили в 20 странах мира. Им написано более 40 работ для симфонического оркестра и около 60 произведений для камерного состава для ансамблей и солистов в различных жанрах.

Юрий Каспаров является заслуженным деятелем искусств России, заслуженным деятелем культуры Казахстана, кавалером ордена «За заслуги в искусстве и литературе» (Франция).

В числе оркестров и камерных ансамблей, исполнявших произведения Юрия Каспарова, Оркестр БиБиСи — Уэлс (Англия), Филармонический Оркестра г. Ницца (Франция), Национальный Оркестр Румынского Радио, Ensemble Contrechamps (Швейцария), Камерата Зальцбурга (Австрия), Симфониетта Амстердама (Нидерланды), Ансамбль 2e2m (Франция) и другие.

Юрий Каспаров регулярно читает лекции и даёт мастер-классы в различных высших учебных заведениях как в России, так и за её пределами. Среди них Миланская консерватория им. Джузеппе Верди, Академия Музыки им. Яначека в Брно, Пхеньянская консерватория им. Ким Вон Гюна, Красноярская Академия Музыки и Театра и другие.